Ich fang mal so an:

George Feinstein berechnet in seinem Artikel Impulsing the Pendulum: Escapement Error den "Impulsfehler": Über Gangvariationen abhängig davon, an welcher Stelle seiner Bahn das Pendel von der Hemmung seinen Antriebsimpuls erhält, und die im Vergleich zu sonstigen Einflüssen im Allgemeinen viel zu wenig Beachtung erhielten.

Er nimmt darin einen (infinitesimal kurzen) Impuls an, der bei einem konstruktiv wählbaren Winkel des Pendels eingeleitet werde. Ruhende Hemmungen wie Graham mit ihrer vglw. kurzen Hebung erreichen dies näherungsweise.
Im Abschnitt "VII. IMPULSE ERROR,QUALITATIVE REVIEW" beschreibt er recht anschaulich, dass ein nach außen wirkender Impuls, der das Pendel trifft, während es sich von der Mittellage entfernt, zu einem Nachgehen führe, während ein nach innen gerichteter Impuls, der wirkt, während das Pendel in Richtung Mittellage zurückschwingt, zu einem Vorgehen führe.
Ein hingegen Impuls, der genau beim Durcheilen der Mittellage wirkt, habe keinen Einfluss auf den Gang, wie bereits Airy forderte. Je weiter entfernt von der Mittellage der Impuls das Pendel trifft, desto größeren Einfluss auf den Gang habe dieser.

Ich denke, man kann das noch viel einfacher und anschaulicher als Feinstein erklären und begründen: Aller Antrieb, ob kurz oder über einen größeren Hebungswinkel verschmiert, der nach außen, von der Mittellage weg wirkt, verringert das (aus der Schwerkraft resultierende) Rückstellmoment auf das Pendel, verringert also dessen Frequenz. Nach innen, zur Mittellage hin wirkender Antrieb erhöht hingegen das Rückstellmoment und wirkt wie eine "künstliche Schwerkraft", die (bei gleichbleibender Trägheit) die Frequenz erhöht. So wie eine steifere Feder eines Federschwingers (Unruh).

Weiter verfolgt er in seinem Artikel die Idee, dass es möglich sein müsse, bei geeigneter Auslegung des Impulsfehlers diesen gegenläufig zum Kreisbogenfehler wirken zu lassen, um damit Gangabweichungen durch Amplitudenänderungen zu kompensieren. So gesehen ein Ansatz in bestem Harrisonschen Sinne, Fehler nicht einzeln kompensieren zu wollen, sondern sie intelligent so gegeneinander wirken zu lassen, dass sie sich gegenseitig aufheben.

Soweit so gut. Nur mit seinen Resultaten komme ich anschauungsmäßig nicht ganz klar:
Im Absatz "IX. IMPULSE ERROR, CONCLUSIONS" fordert er abschließend als Ergebnis seiner Simulationen, um diese Kompensation der Fehler zu erreichen, "(1) The impulse must be toward the position of equilibrium and (2) The relative impulse location must be adjustable."
Und da beißt es bei mir aus:
Eine Vergrößerung der Amplitude führt per Kreisbogenfehler zu einem relativen Nachgehen der Uhr.
Ein wie von Feinstein geforderter einwärts, Richtung Mitte gerichteter Impuls (der grundsätzlich erst einmal beschleunigend auf den Gang wirkt) rückt aber, wenn er seine Position beibehält (wie sollte es konstruktiv sonst möglich sein?), bei vergrößerter Amplitude in Proportion zum gesamten Pendelweg weiter nach innen, womit sich sein vorgehender Einfluss abschwächt.
Die Uhr würde meines Erachtens damit noch mehr nachgehen. Müsste es denn nicht genau umgekehrt sein, dass ein auswärts gerichteter Impuls zur Kompensation des Kreisbogens zielführend wäre?
Hat Feinstein bei seiner sonstigen mathematischen Akribie etwa einen Denk- oder zumindest Vorzeichenfehler?

Es kommt hinzu, dass Feinstein die Grundlage seiner Simulationen im Artikel nur mangelhaft beschrieben hat. ich kann etwa nicht herauslesen, was überhaupt der Grund einer angenommenen Amplitudenänderung sein soll, ob diese etwa aus verändertem Luftwiderstand oder aus verändertem Antrieb resultiert (womöglich hat das eine unterschiedliche Wirkung?). Weiter ist mir nicht erkennbar, ob er überhaupt einen eingeschwungenen Zustand betrachtet (bei dem zu- und abgeführte Energie über einen Pendelzyklus gleich sind), und ob er die Position der Impulseinleitung relativ zur neuen oder alten Amplitude ausdrückt.

Solchermaßen verunsichert habe ich mich daran gemacht, es selber nachzusimulieren, um zu erkennen, ob der Denkfehler bei Feinstein oder mir liegt.

Dazu zunächst als Disclaimer: Die Simulation ist quick and dirty rein für den Eigenbedarf entstanden, und sind keinesfalls quantitativ, sondern rein qualitativ zu verstehen, um zumindest das Vorzeichen der Änderung zu ermitteln (und mit Feinstein zu vergleichen).
Dabei hatte ich keinen Ehrgeiz, eine konkret existierende oder gar nur realistische Uhr zu modellieren. Eine Optimierung der jeweiligen Hemmung ist dabei ebenfalls bewusst nicht erfolgt.

Zu den Vereinfachungen:
- Bewusst habe ich eine vglw. hohe Dämpfung des Pendels (Q-Faktor ca. 1000, also eher Kuckucksuhr als PPU) angenommen, um einen Effekt bei deren Variation zu sehen.
- Es wurde eine isochrone Pendelaufhängung ohne Kreisbogenfehler angenommen, um den reinen Einfluss der Impulseinleitung herauszuschälen. In dem Fall ist es dann egal, ob man ein Pendel oder einen Federschwinger betrachtet.
- Die Luftreibung wurde als linear berechenbare viskose Dämpfung angenommen.
- Weitere Reibungseinflüsse (etwa Ruhereibung) wurden vernachlässigt.
- Die Antriebsleistung bzw. die Luftdämpfung wurden sehr brachial um den Faktor 2 variiert (entsprechend Wurzel(2) bei der Amplitude), wiederum um den qualitativen Effekt deutlich sichtbar z machen.

Meine Prämissen:
- Gegenüber der Basisvariante (Amplitude 100%) wurde einmal die Dämpfung auf die Hälfte reduziert, ein andermal die Antriebsleistung aufs Doppelte erhöht. In beiden Fällen steigt die Amplitude auf 141%; der resultierende Gangfehler wurde verglichen.
- Der Ort der Impulseinleitung bleibt bei Amplitudenänderungen unverändert, und liegt "relativ weit draußen" bei 78% der ursprünglichen und 55% der vergrößerten Halbamplitude, wiederum um den Effekt deutlich zu zeigen. Außerdem ist er dann an der selben Stelle wie der Abfall bei der abschließend vergleichend modellierten Grasshopper-hemmung, aber dazu unten mehr.
- Es wurde jeweils ein eingeschwungener Zustand betrachtet, d.h. eine Amplitude, bei der pro Zyklus genau die Energie durch Dämpfung verloren geht, wie sie durch die festgelegte Antriebsleistung zugeführt wird.
- Die Berechnung erfolgte als explizite Zeitintegration mit einer festen Schrittweite von 0,1 ms.

Hier als Skizze die Orte der Impulseinleitung bei auswärts bzw. einwärts gerichtetem Impuls (nur die die nach rechts führende Halbschwingung dargestellt:





Abschließend wurde zum vergleich eine Grasshopper-Hemmung simuliert. Als rückführende Hemmung erfolgt hier der Antrieb nicht in Form eines kurzen Impulses, sondern ist über die gesamte Bewegung verschmiert: Die Hemmung ist konstant in der Hebung; Ruhe kommt nicht vor.
Eine Besonderheit besteht darin, dass Harrison ganz explizit in "concerning such meachnism" ein Verhältnis der bei Beginn bzw. Ende des jeweiligen Paletteneingriffs wirksamen Momentenarme von 2:3 fordert. Für die, die damit nicht vertraut sind, eine kleine Skizze dazu:



Das Pendel schwingt nach rechts, es wirkt durchgehend ein treibendes Antriebsmoment, dass sich bis zum Abfall auf 120% des mittleren Antriebsmoment steigert (blaue schräge Linie). Beim Abfall (blauer Pfeil) springt das Moment ins Negative (80% des mittleren Moments) und wirkt mit abnehmendem Betrag bremsend, während das Pendel seinen Ergänzungsbogen weiter nach außen schwingt. Nach dem Umkehrpunkt geht es auf der roten Linie nach links, das negative Moment wirkt treibend und steigt mit zunehmendem Weg linear wieder bis auf 120% des mittleren Moments an, bis der nächst Abfall erfolgt (roter Pfeil).

Hier ist unmittelbar ersichtlich,
- dass die pro Zyklus zugeführte Energie unabhängig von der Amplitude gleich bleibt (parallelogrammförmige Fläche innerhalb der Schleife). Muss ja auch so sein, das Gewicht läuft schließlich eine immer gleichbleibende Höhendifferenz pro Zyklus ab.
- dass bei geringer Halbamplitude, die nur knapp den Abfallwinkel übersteigt, die nach außen gerichteten Antriebskräfte überwiegen
- dass bei steigender Amplitude die Zeit- bzw. Weganteile anwachsen, in denen ein nach innen gerichteter Antrieb wirkt, der die Frequenz beschleunigt.

Ergebnisse:



Interpretation:

- Beim Grasshopper besteht ein deutlicher (und sogar gegenläufiger) Unterschied, ob die vergrößerte Amplitude aus verringerter Dämpfung oder stärkerem Antrieb resultiert. Eine verringerte Dämpfung wirkt (wenngleich nur minimal) nachgehend, ein stärkerer Antrieb vorgehend.
- Beim Impulsantrieb besteht kein großer Unterschied zwischen Dämpfungsreduktion und Antriebserhöhung; beide haben eine Gangauswirkung gleicher Größenordnung und sind gleich orientiert.
- Beim Impulsantrieb ist wie erwartet die Richtung des Impulses extrem entscheidend. Bei auswärts gerichtetem Impuls wirkt eine vergrößerte Amplitude vorgehend, ein einwärts gerichteter Impuls nachgehend.

Rein subjektives Fazit:

- Die wichtigste Botschaft: Feinstein scheint zu irren, bzw. scheint noch einen Bock in seinen Berechnungen zu haben. In komplettem Gegensatz zu seiner Forderung hat nur ein auswärts gerichteter Antriebsimpuls die Chance, den vergrößerten Kreisbogenfehler zu kompensieren.
- Das Gute daran: Nur ein auswärts gerichteter Impuls scheint mir durch konventionelle mechanische ruhende Hemmungen ohnehin realisierbar. Einwärts gerichteter Impuls (eigentlich nachteilig) kommt m.W. nur bei elektrischen Antrieben (konkret Hippscher Antrieb) vor.
- Es erscheint mir nicht ausgeschlossen, eine ruhende Hemmung so auszulegen, dass ein Kreisbogenfehler bei Amplitudenschwankungen weitestgehend kompensiert wird. Vielleicht rührt daher der gute Ruf der Grahamhemmung und die Tatsache, dass bei ihr in aller Regel auf Huygenssche "Backen" zur Korrektur des Kreisbogenfehlers verzichtet wird(?).
- Eine gut gestaltete ruhende Hemmung kann vglw. robust gegen Antriebsschwankungen sein, weil sich diese nicht viel anders als atmosphärische Schwankungen auswirken.
- Dabei nicht betrachtet sind freilich Reibungs- und Schmierungseinflüsse ("Palettengerutsche"), da können Antriebsschwankungen ein deutlich größeres Gewicht bekommen.

Ganz anders mal wieder der Grasshopper:
- Der Grasshopper scheint geradezu unglaublich robust gegen barometrische Schwankungen zu sein. Der Einfluss in meinem (nicht optimierten) Beispielmodell ist fast um den Faktor 30(!!!) geringer als bei dem Impuls-Antrieb.
- Dieser erscheint aufgrund seines minimalen Betrags (und seiner Richtung) kaum geeignet, damit den Kreisbogenfehler zu korrigieren. Vielleicht ist das der Grund, warum Harrison kreisförmige Backen an der Pendelfeder (ähnlich Huygens) verwendete?
- Dafür besteht beim Grasshopper ein wahrnehmbarer Einfluss von Antriebsschwankungen, wenngleich weniger stark als beim Impulsantrieb. Vielleicht ist das Grund, warum Harrison größte Anstrengungen betrieb, den Antrieb konstant zu halten, was ihm durch fast vollständige Reibungsfreiheit und die Verwendung eines Remontoirs auch gelang.

So gesehen fügt sich das zumindest in meiner bescheidenen Sicht zu einem halbwegs runden Bild. Man möge mich korrigieren, wenn ich irre. Je tiefer man in den Grasshopper blickt, desto mehr erkennt man seine Genialität, aber auch, dass man vieles ganz anders denken muss als bei konventionellen Hemmungen.

Gruß, Moritz

Hallo Moritz,



Danke für den Feinstein ... ich hab mal reingeschaut, und festgestellt, für mich ist das nicht das geeignetste Futter.
Aber Matthias wird sich freuen.

Zitat

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Zu den Vereinfachungen:

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um zu sehen wo es langgeht ..... OK

Zitat

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Meine Prämissen:

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auch OK

Zitat

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Eine Besonderheit besteht darin, dass Harrison ganz explizit in "concerning such meachnism" ein Verhältnis der bei Beginn bzw. Ende des jeweiligen Paletteneingriffs wirksamen Momentenarme von 2:3 fordert. Für die, die damit nicht vertraut sind, eine kleine Skizze dazu:

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Das im Modell anzunehmen, da gehe ich mit, nur ist es so, das CSM ist ein Wirrwarr, bei dem Text, Randglossen, Zitate, Fußnoten und Anmerkungen und Bezüge bestmöglich gemixt, auf uns gekommen sind. Das mit 2:3 findet sich schon im Text von 1730, auf den sich j.H. im Text immer wieder bezieht, darum auch die scheinbar unendlichen Wiederholungen.
Wie das nun zu entwirren, und zu interpretieren sei ... ist schwierig. Ein wesentlicher Grund ist IMHO das J.H. das vorzeitige ausfallen einer Palette um jeden Preis zu verhindern suchte, der Gau für jede Grashopper. Weil ja über den ganzen Pendelbogen gearbeitet wird, ist der Druck auf die Palette äusserst gering, und je weiter sich der Kniehebel zum Ende oeffnet um so unsicherer wird der Halt. Angeheizt wird die Diskussion um 2:3 auch weil man glaubt, es bei den letzten Harrison-Uhren nicht SO zu finden.
Da Du aber sowieso die älteste Variante der Grashopper gewählt hast, schiebend-schiebend/2Achsen, die Harrison nur in der Uhr vom Brocklesby-Park verwendete, in der das auch so angelegt ist ... ist das voll richtig.

Zitat

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Rein subjektives Fazit:
Ganz anders mal wieder der Grasshopper:
- Der Grasshopper scheint geradezu unglaublich robust gegen barometrische Schwankungen zu sein. Der Einfluss in meinem (nicht optimierten) Beispielmodell ist fast um den Faktor 30(!!!) geringer als bei dem Impuls-Antrieb.

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Das deckt sich mit den Beobachtungen in der Praxis ...

Zitat

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- Dieser erscheint aufgrund seines minimalen Betrags (und seiner Richtung) kaum geeignet, damit den Kreisbogenfehler zu korrigieren. Vielleicht ist das der Grund, warum Harrison kreisförmige Backen an der Pendelfeder (ähnlich Huygens) verwendete?

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Das hat natürlich auch einen ganz praktischen Grund, die feine Gold-Blattfeder, 0.05mm dick, ist relativ lang, und bei den großen Amplituden der Harrisonschen Uhren würde sie ohne die Backen an der oberen Aufhängung scharf geknickt ... und würde nicht lange halten.

Zitat

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- Dafür besteht beim Grasshopper ein wahrnehmbarer Einfluss von Antriebsschwankungen, wenngleich weniger stark als beim Impulsantrieb. Vielleicht ist das Grund, warum Harrison größte Anstrengungen betrieb, den Antrieb konstant zu halten, was ihm durch fast vollständige Reibungsfreiheit und die Verwendung eines Remontoirs auch gelang.

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Der Fehler durch das ablaufende Seil ist auch in der Praxis deutlich geringer als bei Graham.
Die meisten der Harrison-Regulatoren hatten kein Remontoire.

Der Wirkungsgrad einer Graham ist auch in der Praxis deutlich schlechter, Marry, die Franklinuhr in unserer Diele hatte ganz am Anfange eine ansonsten baugleiche Schwester, mit Graham, sie blieb nicht lange, der Radau war unerträglich ... sie brauchte mindestens das 4fache Antriebsgewicht obwohl sie statt 24° nur 6° Amplitude schaffte.

Einen wesentlichen Vorteil der Grashopper kann Deine Simulation allerdings nicht zeigen, in der Praxis sieht man den aber sofort. Die Umgangsgeschwindigkeit des Steigrades, wirkt eher gleichmässig, es beschleunigt und bremst langsam und macht nur 1% der Geschwindigkeit des Pendelgewichtes. Bei der Graham muss das Steigrad, durch die geringe Neigung der Hebefläche, sehr schnell beschleunigen, und da die Drehmomentstütze ~3x so lang ist muss man wohl von einer bis zu 6x größeren Geschwindigkeit, als die des Pendelgewichtes im Moment der Auslösung ausgehen. Das zieht jede Schwäche des Räderwerks sofort ans Licht. In der Praxis ist der "Präzise kurze Impuls" ein Mythos.
Auch hat man mit weniger Druck im Räderwerk, auch weniger unbestimmte Reibung.

Zitat

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Je tiefer man in den Grasshopper blickt, desto mehr erkennt man seine Genialität, aber auch, dass man vieles ganz anders denken muss als bei konventionellen Hemmungen.

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mehr als volle Zustimmung.

LG
Veronika

@Bierjunge:
So wie ich das verstehe: Ein unendlich kurzer Antriebsimpuls beeinflußt die Periodendauer nicht. Praktisch geht das nicht; ein Teil des Kreisbogens beinhaltet die Hebung, in der das Pendel in jedem Fall für diese Zeit beschleunigt wird (egal ob bergauf oder bergab). Diesen Winkel wird das Pendel also schneller durchfahren, als wenn es frei ohne Hebung/Antrieb schwingen würde, in Summe verkürzt sich also durch die Hebung die Periodendauer. Je größer die Amplitude ist, desto geringer ist der Einfluß der Hebung, denn sie wird ja prozentual gesehen vom Weg (Winkel) immer weniger, während der Hebewinkel konstant bleibt. Zudem nimmt der Energiegehalt des Pendels quadratisch zu, was die Sache zumindest in dieser Hinsicht zusätzlich unempfindlicher gegen Einflüsse durch die Hemmung macht. Das größte Problem bei ruhender Hemmung und unterschiedlicher Antriebskraft ist der Kreisbogenfehler, der nicht kompensiert wird.

Die Beschleunigung bei rückführenden Hemmungen liegt an der Rückführung, das Pendel wird abgebremst und zurückgedrückt (der Sinus "kriegt eins auf den Deckel"). Ist nur leider sehr stark von der Antriebskraft abhängig.

"Halbruhend" wäre auch eine denkbare Kompensation, also nur bei großen Amplituden erfolgt eine (sanft einsetzende) Rückführung.

Zitat von Gustav Becker im Beitrag #4

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@Bierjunge:
So wie ich das verstehe: Ein unendlich kurzer Antriebsimpuls beeinflußt die Periodendauer nicht.

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Zitat

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ein Teil des Kreisbogens beinhaltet die Hebung, in der das Pendel in jedem Fall für diese Zeit beschleunigt wird (egal ob bergauf oder bergab). Diesen Winkel wird das Pendel also schneller durchfahren, als wenn es frei ohne Hebung/Antrieb schwingen würde, in Summe verkürzt sich also durch die Hebung die Periodendauer.

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Nein, da irrst Du leider: Eine auswärts gerichtete Hebung oder Antriebsimpuls verlangsamt. Am deutlichsten wird das kurz vor dem Umkehrpunkt: Ohne die Hebung wäre das Pendel schon zum Stillstand gekommen und würde bereits umkehren; dank der Hebung hat es aber wieder eine größere Geschwindigkeit erhalten und bewegt sich noch länger und weiter nach außen, bevor es umkehrt. Abermals: Feinstein hat das allgemeinverständlich beschrieben, und meine Simulationne bestätigen ihn in diesem Punkt vollständig.

Zitat

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Die Beschleunigung bei rückführenden Hemmungen liegt an der Rückführung, das Pendel wird abgebremst und zurückgedrückt (der Sinus "kriegt eins auf den Deckel").

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Ja, weil während des gesamten Ergänzungsbogen sowohl bergauf wie auch bergab ein Antriebsmoment zur Mitte hin wirkt. Und das wirkt generell, s.o., wie eine künstliche Schwerkraft, die die Frequenz beschleunigt. Das passt schon alles zusammen!

Zitat

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Ist nur leider sehr stark von der Antriebskraft abhängig.

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Ja, aber auch bei anderen (auch ruhenden) Hemmungen ebenfalls, oder sogar noch stärker. Vermehrte Antriebskraft bedeutet mehr zugeführte Energie pro Zyklus, und damit mehr Amplitude, bis wieder ein energetisches Gleichgewicht herrscht. Und eine veränderte Amplitude verschiebt den Ort der Hebung prozentual zum Maximalausschlag, und verändert damit den Gang. Außer, der Antrieb erfolgt genau in der MItte oder symmetrisch zu ihr, s.o.

Moritz

Zitat von Bierjunge im Beitrag #5

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Nein, da irrst Du leider: Eine auswärts gerichtete Hebung oder Antriebsimpuls verlangsamt. Am deutlichsten wird das kurz vor dem Umkehrpunkt: Ohne die Hebung wäre das Pendel schon zum Stillstand gekommen und würde bereits umkehren; dank der Hebung hat es aber wieder eine größere Geschwindigkeit erhalten und bewegt sich noch länger und weiter nach außen, bevor es umkehrt. Abermals: Feinstein hat das allgemeinverständlich beschrieben, und meine Simulationne bestätigen ihn in diesem Punkt vollständig.

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Die Graham-Hemmung mit einem Impuls zu simulieren halte ich für gewagt, aber mõglicherweise macht es mathematisch tatsächlich keinen Unterschied. Meine Uhr hat bei einer Amplitude von 60' auch 60' Antrieb, wobei die Verteilung 20' nach innen und 40' nach außen ist. Um der ruhenden Hemmung halbwegs gerecht zu werden, müsstest du den Impuls bei 10' nach außen ansetzen (entspricht 17%). Das ist eine übliche und sichere Auslegung.

LG, Willy

Hallo Willy,

Zitat von Willy im Beitrag #7

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Die Graham-Hemmung mit einem Impuls zu simulieren halte ich für gewagt, aber mõglicherweise macht es mathematisch tatsächlich keinen Unterschied. Meine Uhr hat bei einer Amplitude von 60' auch 60' Antrieb,

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Zitat

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wobei die Verteilung 20' nach innen und 40' nach außen ist.

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Das geht nach Graham nicht ... da verwechselst Du was Graham loest allerfruehstens nach 0° aus.

Zitat

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Um der ruhenden Hemmung halbwegs gerecht zu werden, müsstest du den Impuls bei 10' nach außen ansetzen (entspricht 17%). Das ist eine übliche und sichere Auslegung.

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Auf einmal doch, Du verwirrst mich ...

LG
Vroni

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